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《北京理工大学》 2017年
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非线性偏微分方程的对称群、不变解及守恒律的研究

王岗伟  
【摘要】:非线性偏微分方程在许多科学领域扮演着十分重要的角色.本文以对称为主要求解工具,重点研究非线性偏微分方程的对称群、不变解及守恒律问题.本文内容包括以下几个方面:第一章是绪论部分.详细地介绍了非线性偏微分方程的研究背景、意义、研究现状以及常见的研究方法,并给出了本文的主要研究内容.第二章,在对称分析的基础之上,系统地研究了变系数(2+1)-维非线性薛定谔方程的对称群及不变解.首先,考虑了其特殊情况,即线性的变系数(2+1)-维非线性薛定谔方程,该方程可以转化成相同形式的常系数(2+1)-维非线性薛定谔方程,找到了相应的等价群,在不同的条件限制下,找到了相应的非局域对称.其次,给出了相应的李点对称群,且用相似变换,研究了依赖于空间和时间的变系数的(2+1)-维非线性薛定谔方程.最后,给出了变系数(2+1)-维非线性薛定谔方程的精确解.第三章主要基于非局域对称,研究了三阶和四阶Burgers方程,以及一个广义五阶KdV方程的精确解和守恒律.首先,研究了三阶Burgers方程的非局域对称、势对称,利用非局域对称,将原方程线性化成线性的三阶偏微分方程,并给出了守恒律.其次,在三阶Burgers方程基础之上,研究了四阶Burgers方程,给出了该方程的非局域对称、显式解,并得到了势方程与对称相关的非线性自治性、守恒律.最后,用群方法和守恒律,研究了一个广义的五阶KdV方程,给出了该方程的对称约化和精确解,对于特殊情况,得到了该方程的标量对称和非平凡守恒律.第四章主要研究一些常系数的(2+1)-维非线性偏微分方程.首先研究一个拓展的(2+1)-维Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程.基于经典李对称分析,得到了该方程大量的解,并得到了该方程的非线性自治性和守恒律.最后研究了一个拓展的量子Zakharov-Kuznetsov方程,给出了该方程的几何对称以及孤立子解.第五章研究了新的(2+1)-维sine-Gordon和sinh-Gordon方程,从拓展的AKNS系统,推导了这两个方程.基于广田双线性方法,给出了(2+1)-维sine-Gordon方程的单孤立波解、双孤立波解以及N孤立波解,并得到了该方程的对称.第六章主要研究了时间分数阶非线性色散方程.首先推导了该方程的完整的李点对称,利用经典李对称分析,得到了该方程相应的向量场,并用向量场来约化方程.最后,基于对称,给出了该方程的守恒律.最后,在总结与展望部分,概述了本论文的主要工作,并对将来的研究工作方向和有待于要解决的问题,进行了展望.
【学位授予单位】:北京理工大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O175.29

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